Flache, sphärische oder hyperbolische Form unseres Universums?

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-16 16:01

Aus unserer Sicht ist das Universum unendlich. Heute wissen wir, dass die Erde die Form einer Kugel hat, aber wir denken selten über die Form des Universums nach. In der Geometrie gibt es viele dreidimensionale Formen als Alternative zum „vertrauten“unendlichen Raum. Die Autoren erklären den Unterschied in der am leichtesten zugänglichen Form.

Betrachtet man den Nachthimmel, so scheint es, als würde sich der Weltraum ewig in alle Richtungen fortbewegen. So stellen wir uns das Universum vor – aber nicht die Tatsache, dass es wahr ist. Schließlich dachte jeder, die Erde sei flach: Die Krümmung der Erdoberfläche ist nicht wahrnehmbar, und die Vorstellung, die Erde sei rund, schien unverständlich.

Heute wissen wir, dass die Erde die Form einer Kugel hat. Aber wir denken selten über die Form des Universums nach. Da die Kugel die flache Erde ablöste, bieten andere dreidimensionale Formen Alternativen zum „vertrauten“unendlichen Raum.

Zur Gestalt des Universums können zwei Fragen gestellt werden – getrennte, aber miteinander verbundene. Zum einen geht es um Geometrie - akribische Berechnungen von Winkeln und Flächen. Bei einem anderen geht es um Topologie: wie einzelne Teile zu einem einzigen Formular verschmelzen.

Kosmologische Daten legen nahe, dass der sichtbare Teil des Universums glatt und homogen ist. Die lokale Raumstruktur sieht an jedem Punkt und in jede Richtung fast gleich aus. Nur drei geometrische Formen entsprechen diesen Eigenschaften – flach, sphärisch und hyperbolisch. Schauen wir uns diese Formen der Reihe nach an, einige topologische Überlegungen und Schlussfolgerungen basierend auf kosmologischen Daten.

Flaches Universum

Tatsächlich ist dies Schulgeometrie. Die Winkel eines Dreiecks addieren sich zu 180 Grad und die Fläche eines Kreises beträgt πr2. Das einfachste Beispiel für eine flache dreidimensionale Form ist ein gewöhnlicher unendlicher Raum, Mathematiker nennen ihn euklidisch, aber es gibt auch andere flache Optionen.

Es ist nicht leicht, sich diese Formen vorzustellen, aber wir können unsere Intuition verbinden, indem wir in zwei statt in drei Dimensionen denken. Neben der üblichen euklidischen Ebene können wir andere flache Formen erstellen, indem wir ein Stück der Ebene ausschneiden und seine Kanten verkleben. Nehmen wir an, wir schneiden ein rechteckiges Blatt Papier aus und kleben die gegenüberliegenden Kanten davon mit Klebeband ab. Wenn Sie die Oberkante auf die Unterkante kleben, erhalten Sie einen Zylinder.

Sie können auch die rechte Kante auf die linke kleben - dann erhalten wir einen Donut (Mathematiker nennen diese Form einen Torus).

Sie werden wahrscheinlich einwenden: "Etwas ist nicht ganz flach." Und du wirst Recht haben. Wir haben ein wenig über den flachen Torus geschummelt. Wenn Sie wirklich versuchen, auf diese Weise einen Torus aus einem Stück Papier zu machen, werden Sie auf einige Schwierigkeiten stoßen. Es ist einfach, einen Zylinder zu machen, aber es funktioniert nicht, seine Enden zu kleben: Das Papier wird entlang des inneren Kreises des Torus zerknittert, aber es reicht nicht für den äußeren Kreis. Sie müssen also eine Art elastisches Material nehmen. Aber das Dehnen verändert die Länge und die Winkel und damit die gesamte Geometrie.

Es ist unmöglich, einen echten glatten physischen Torus aus einem flachen Material innerhalb eines gewöhnlichen dreidimensionalen Raums zu konstruieren, ohne die Geometrie zu verzerren. Es bleibt, abstrakt darüber zu spekulieren, wie es ist, in einem flachen Torus zu leben.

Stellen Sie sich vor, Sie seien ein zweidimensionales Wesen, dessen Universum ein flacher Torus ist. Da die Form dieses Universums auf einem flachen Blatt Papier basiert, bleiben alle geometrischen Fakten, die wir gewohnt sind, gleich – zumindest in einem begrenzten Maßstab: Die Winkel eines Dreiecks addieren sich zu 180 Grad und so weiter. Aber mit der Veränderung der globalen Topologie durch Trimmen und Kleben wird sich das Leben dramatisch verändern.

Zu Beginn hat der Torus gerade Linien, die eine Schleife bilden und zum Ausgangspunkt zurückkehren.

Auf einem verzerrten Torus sehen sie gekrümmt aus, aber für die Bewohner eines flachen Torus erscheinen sie gerade. Und da sich das Licht geradlinig ausbreitet, sehen Sie sich selbst von hinten, wenn Sie direkt in eine beliebige Richtung schauen.

Es ist, als ob auf dem Originalpapier Licht durch Sie hindurchgegangen wäre, zum linken Rand ging und dann rechts wieder auftauchte, wie in einem Videospiel.

So kann man es sich anders vorstellen: Sie (oder ein Lichtstrahl) überqueren eine der vier Kanten und finden sich in einem neuen Raum wieder, aber tatsächlich ist es derselbe Raum, nur aus einer anderen Perspektive. Wenn Sie durch ein solches Universum wandern, werden Sie auf eine endlose Anzahl von Kopien des Originalraums stoßen.

Dies bedeutet, dass Sie eine unendliche Anzahl von Kopien von sich selbst mitnehmen, wohin Sie auch schauen. Dies ist eine Art Spiegeleffekt, nur sind diese Kopien nicht genau Spiegelungen.

Auf dem Torus entspricht jeder von ihnen der einen oder anderen Schleife, entlang derer das Licht zu Ihnen zurückkehrt.

Auf die gleiche Weise erhalten wir einen flachen dreidimensionalen Torus, indem wir die gegenüberliegenden Seiten eines Würfels oder einer anderen Schachtel verkleben. Wir werden diesen Raum nicht in einem gewöhnlichen unendlichen Raum darstellen können – er passt einfach nicht – aber wir werden in der Lage sein, abstrakt über das Leben darin zu spekulieren.

Wenn das Leben in einem zweidimensionalen Torus wie eine endlose zweidimensionale Anordnung identischer rechteckiger Räume ist, dann ist das Leben in einem dreidimensionalen Torus wie eine endlose dreidimensionale Anordnung identischer kubischer Räume. Auch Sie werden unendlich viele eigene Kopien sehen.

Der dreidimensionale Torus ist nur eine von zehn Varianten der endlichen flachen Welt. Es gibt auch unendliche flache Welten - zum Beispiel ein dreidimensionales Analogon eines unendlichen Zylinders. Jede dieser Welten wird ihren eigenen "Raum des Lachens" mit "Reflexionen" haben.

Könnte unser Universum eine der flachen Formen sein?

Wenn wir in den Weltraum schauen, sehen wir nicht unendlich viele unserer eigenen Kopien. Unabhängig davon ist es nicht einfach, flache Formen zu eliminieren. Erstens haben sie alle die gleiche lokale Geometrie wie der euklidische Raum, sodass es nicht möglich ist, sie mit lokalen Messungen zu unterscheiden.

Nehmen wir an, Sie haben sogar Ihre eigene Kopie gesehen, dieses ferne Bild zeigt nur, wie Sie (oder Ihre Galaxie als Ganzes) in der fernen Vergangenheit ausgesehen haben, da das Licht einen langen Weg zurückgelegt hat, bis es Sie erreicht hat. Vielleicht sehen wir sogar unsere eigenen Kopien – aber bis zur Unkenntlichkeit verändert. Darüber hinaus befinden sich verschiedene Kopien in unterschiedlichen Abständen von Ihnen, sodass sie nicht gleich sind. Und außerdem so weit weg, dass wir immer noch nichts sehen.

Um diese Schwierigkeiten zu umgehen, suchen Astronomen normalerweise nicht nach Kopien ihrer selbst, sondern nach sich wiederholenden Merkmalen des am weitesten entfernten sichtbaren Phänomens - der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung, die ein Relikt des Urknalls ist. In der Praxis bedeutet dies, nach Kreispaaren mit übereinstimmenden Mustern von heißen und kalten Stellen zu suchen - es wird angenommen, dass sie gleich sind, nur von verschiedenen Seiten.

Eine solche Suche führten Astronomen 2015 dank des Planck-Weltraumteleskops durch. Sie stellten Daten über die Arten von zusammenfallenden Kreisen zusammen, die wir in einem flachen 3D-Torus oder einer anderen flachen 3D-Form - einer sogenannten Platte - erwarten, aber sie fanden nichts. Das bedeutet, dass, wenn wir in einem Torus leben, dieser so groß erscheint, dass alle sich wiederholenden Fragmente außerhalb des beobachtbaren Universums liegen.

Kugelform

Mit zweidimensionalen Kugeln sind wir bestens vertraut – das ist die Oberfläche einer Kugel, einer Orange oder der Erde. Aber was ist, wenn unser Universum eine dreidimensionale Kugel ist?

Eine dreidimensionale Kugel zu zeichnen ist schwierig, aber mit einer einfachen Analogie leicht zu beschreiben. Wenn eine zweidimensionale Kugel eine Ansammlung aller Punkte in einem festen Abstand von einem zentralen Punkt im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum ist, ist eine dreidimensionale Kugel (oder "Trisphäre") eine Ansammlung aller Punkte in einem festen Abstand von einigen Mittelpunkt im vierdimensionalen Raum.

Das Leben in einer Trisphäre unterscheidet sich stark vom Leben im flachen Raum. Um es sich vorzustellen, stellen Sie sich vor, Sie seien ein zweidimensionales Wesen in einer zweidimensionalen Sphäre. Die zweidimensionale Sphäre ist das gesamte Universum, daher können Sie den dreidimensionalen Raum, der Sie umgibt, nicht sehen und nicht hineingehen. In diesem kugelförmigen Universum bewegt sich Licht auf dem kürzesten Weg: in großen Kreisen. Aber diese Kreise erscheinen Ihnen direkt.

Stellen Sie sich nun vor, Sie und Ihr 2D-Kumpel hängen am Nordpol ab und er ging spazieren. Wenn Sie sich entfernen, wird es in Ihrem Sehkreis zunächst allmählich kleiner - wie in der gewöhnlichen Welt, wenn auch nicht so schnell, wie wir es gewohnt sind. Dies liegt daran, dass Ihr Freund mit zunehmendem Sehkreis immer weniger davon in Anspruch nimmt.

Aber sobald Ihr Freund den Äquator überquert, passiert etwas Seltsames: Er beginnt zu wachsen, obwohl er sich tatsächlich weiter entfernt. Dies liegt daran, dass der Prozentsatz, den sie in Ihrem visuellen Kreis einnehmen, zunimmt.

Drei Meter vom Südpol entfernt sieht dein Freund so aus, als würde er drei Meter von dir entfernt stehen.

Wenn Sie den Südpol erreicht haben, wird es Ihren gesamten sichtbaren Horizont vollständig ausfüllen.

Und wenn niemand am Südpol ist, wird Ihr visueller Horizont noch seltsamer - Sie sind es. Dies liegt daran, dass sich das Licht, das Sie aussenden, in der gesamten Kugel ausbreitet, bis es zurückkommt.

Dies wirkt sich direkt auf das Leben im 3D-Bereich aus. Jeder Punkt der Trisphäre hat ein Gegenteil, und wenn sich dort ein Objekt befindet, werden wir es am ganzen Himmel sehen. Wenn dort nichts ist, sehen wir uns im Hintergrund - als ob unser Aussehen einem Ballon überlagert, dann umgestülpt und bis zum gesamten Horizont aufgeblasen würde.

Aber obwohl die Trisphäre das grundlegende Modell der sphärischen Geometrie ist, ist sie bei weitem nicht der einzig mögliche Raum. Da wir verschiedene flache Modelle durch Schneiden und Kleben von Stücken des euklidischen Raums gebaut haben, können wir kugelförmige Modelle bauen, indem wir geeignete Stücke von Trisphäre kleben. Jede dieser geklebten Formen wird wie der Torus die Wirkung eines "Raums des Lachens" haben, nur die Anzahl der Räume in Kugelformen wird endlich sein.

Was ist, wenn unser Universum kugelförmig ist?

Selbst die narzisstischsten von uns sehen sich nicht als Hintergrund statt als Nachthimmel. Aber wie bei einem flachen Torus bedeutet die Tatsache, dass wir etwas nicht sehen, noch lange nicht, dass es nicht existiert. Die Grenzen eines kugelförmigen Universums können größer sein als die Grenzen der sichtbaren Welt, und der Hintergrund ist einfach nicht sichtbar.

Aber im Gegensatz zu einem Torus kann ein kugelförmiges Universum durch lokale Messungen nachgewiesen werden. Kugelformen unterscheiden sich vom unendlichen euklidischen Raum nicht nur in der globalen Topologie, sondern auch in der kleinen Geometrie. Da zum Beispiel gerade Linien in sphärischer Geometrie große Kreise sind, sind die Dreiecke dort "praller" als die euklidischen, und die Summe ihrer Winkel überschreitet 180 Grad.

Grundsätzlich ist die Messung kosmischer Dreiecke der wichtigste Weg, um zu überprüfen, wie gekrümmt das Universum ist. Für jeden heißen oder kalten Punkt auf dem kosmischen Mikrowellenhintergrund sind sein Durchmesser und seine Entfernung von der Erde, die die drei Seiten des Dreiecks bilden, bekannt. Wir können den Winkel messen, den der Fleck am Nachthimmel bildet - und dies wird eine der Ecken des Dreiecks sein. Wir können dann überprüfen, ob die Kombination der Seitenlängen und der Winkelsumme einer planaren, sphärischen oder hyperbolischen Geometrie entspricht (wo die Winkelsumme des Dreiecks weniger als 180 Grad beträgt).

Die meisten dieser Berechnungen gehen zusammen mit anderen Krümmungsmessungen davon aus, dass das Universum entweder vollständig flach ist oder ihm sehr nahe kommt. Ein Forschungsteam schlug kürzlich vor, dass einige der Daten des Planck-Weltraumteleskops von 2018 eher für ein kugelförmiges Universum sprechen, obwohl andere Forscher argumentierten, dass die vorgelegten Beweise auf statistische Fehler zurückgeführt werden könnten.

Hyperbolische Geometrie

Anders als eine Kugel, die sich in sich schließt, öffnet sich eine hyperbolische Geometrie oder ein Raum mit negativer Krümmung nach außen. Dies ist die Geometrie des breitkrempigen Hutes, des Korallenriffs und des Sattels. Das Grundmodell der hyperbolischen Geometrie ist der unendliche Raum, genau wie der flache Euklidische. Da sich eine hyperbolische Form jedoch viel schneller nach außen ausdehnt als eine flache, gibt es keine Möglichkeit, auch nur eine zweidimensionale hyperbolische Ebene in den gewöhnlichen euklidischen Raum einzupassen, wenn wir ihre Geometrie nicht verzerren wollen. Aber es gibt ein verzerrtes Bild der hyperbolischen Ebene, die als Poincaré-Scheibe bekannt ist.

Aus unserer Sicht scheinen die Dreiecke in der Nähe des Grenzkreises viel kleiner zu sein als die in der Nähe des Zentrums, aber aus Sicht der hyperbolischen Geometrie sind alle Dreiecke gleich. Wenn wir versuchen würden, diese Dreiecke wirklich gleich groß darzustellen – vielleicht indem wir elastisches Material verwenden und jedes Dreieck der Reihe nach von der Mitte nach außen aufblasen – würde unsere Scheibe einem breitkrempigen Hut ähneln und würde sich mehr und mehr verbiegen. Und wenn Sie sich der Grenze nähern, würde diese Krümmung außer Kontrolle geraten.

In der gewöhnlichen euklidischen Geometrie ist der Umfang eines Kreises direkt proportional zu seinem Radius, aber in der hyperbolischen Geometrie wächst der Kreis relativ zum Radius exponentiell. Nahe der Grenze der hyperbolischen Scheibe bildet sich ein Haufen von Dreiecken

Aufgrund dieser Eigenschaft sagen Mathematiker gerne, dass es leicht ist, sich im hyperbolischen Raum zu verlieren. Wenn sich Ihr Freund im normalen euklidischen Raum von Ihnen entfernt, wird er beginnen, sich zu entfernen, aber eher langsam, da Ihr Sehkreis nicht so schnell wächst. Im hyperbolischen Raum dehnt sich Ihr Sehkreis exponentiell aus, sodass Ihr Freund bald zu einem unendlich kleinen Fleck schrumpft. Wenn Sie also seiner Route nicht gefolgt sind, werden Sie ihn später wahrscheinlich nicht finden.

Selbst in der hyperbolischen Geometrie beträgt die Winkelsumme eines Dreiecks weniger als 180 Grad – zum Beispiel beträgt die Winkelsumme einiger Dreiecke aus dem Poincaré-Scheibenmosaik nur 165 Grad.

Ihre Seiten scheinen indirekt zu sein, aber das liegt daran, dass wir die hyperbolische Geometrie durch eine verzerrende Linse betrachten. Für einen Bewohner der Poincaré-Scheibe sind diese Kurven eigentlich gerade Linien, so dass der schnellste Weg von Punkt A nach Punkt B (beide am Rand) über einen Schnitt in die Mitte führt.

Es gibt einen natürlichen Weg, ein dreidimensionales Analogon der Poincaré-Scheibe zu erstellen - nehmen Sie eine dreidimensionale Kugel und füllen Sie sie mit dreidimensionalen Formen, die sich allmählich verringern, wenn sie sich der Grenzkugel nähern, wie Dreiecke auf einer Poincaré-Scheibe. Und wie bei Ebenen und Kugeln können wir eine ganze Reihe anderer dreidimensionaler hyperbolischer Räume erzeugen, indem wir geeignete Teile einer dreidimensionalen hyperbolischen Kugel ausschneiden und ihre Flächen verkleben.

Ist unser Universum hyperbolisch?

Die hyperbolische Geometrie mit ihren schmalen Dreiecken und exponentiell wachsenden Kreisen ist dem Raum um uns herum überhaupt nicht ähnlich. Tatsächlich neigen die meisten kosmologischen Messungen, wie bereits erwähnt, zu einem flachen Universum.

Aber wir können nicht ausschließen, dass wir in einer sphärischen oder hyperbolischen Welt leben, denn kleine Fragmente beider Welten sehen fast flach aus. Beispielsweise beträgt die Winkelsumme kleiner Dreiecke in sphärischer Geometrie nur wenig mehr als 180 Grad und in hyperbolischer Geometrie nur geringfügig weniger.

Deshalb dachten die Alten, die Erde sei flach - die Krümmung der Erde ist mit bloßem Auge nicht sichtbar. Je größer die Kugel- oder Hyperbelform ist, desto flacher ist jeder seiner Teile. Wenn unser Universum also eine extrem große Kugel- oder Hyperbelform hat, ist sein sichtbarer Teil so flach, dass seine Krümmung nur mit ultrapräzisen Instrumenten nachgewiesen werden kann. und wir haben sie noch nicht erfunden. …