Was sind Fraktale: die Schönheit der Mathematik und der Unendlichkeit

2024 Autor: Seth Attwood | [email protected]. Zuletzt bearbeitet: 2023-12-16 16:01

Fraktale sind seit einem Jahrhundert bekannt, gut untersucht und haben zahlreiche Anwendungen im Leben. Dieses Phänomen basiert jedoch auf einer ganz einfachen Idee: Aus relativ einfachen Strukturen lassen sich mit nur zwei Operationen – Kopieren und Skalieren – eine Vielzahl von Formen von unendlicher Schönheit und Vielfalt gewinnen.

Was haben ein Baum, eine Küste, eine Wolke oder Blutgefäße in unserer Hand gemeinsam? Auf den ersten Blick mag es scheinen, als hätten all diese Objekte nichts gemeinsam. Tatsächlich gibt es jedoch eine Struktureigenschaft, die allen aufgeführten Objekten innewohnt: Sie sind sich selbst ähnlich. Sowohl vom Ast als auch vom Stamm des Baumes gibt es kleinere Äste - noch kleinere usw., dh der Ast ist wie der ganze Baum.

Das Kreislaufsystem ist ähnlich angeordnet: Arteriolen verlassen die Arterien und von ihnen - die kleinsten Kapillaren, durch die Sauerstoff in die Organe und Gewebe gelangt. Schauen wir uns Satellitenbilder der Meeresküste an: Wir werden Buchten und Halbinseln sehen; werfen wir einen Blick darauf, aber aus der Vogelperspektive: wir werden Buchten und Kaps sehen; Stellen wir uns nun vor, wir stehen am Strand und schauen auf unsere Füße: Es gibt immer Kieselsteine, die weiter ins Wasser ragen als der Rest.

Das heißt, die Küstenlinie bleibt sich selbst beim Vergrößern ähnlich. Der amerikanische (obwohl in Frankreich aufgewachsene) Mathematiker Benoit Mandelbrot nannte diese Eigenschaft von Objekten Fraktalität, und solche Objekte selbst - Fraktale (von lateinisch fractus - gebrochen).

Was ist ein Fraktal?

Dieses Konzept hat keine strenge Definition. Daher ist das Wort "Fraktal" kein mathematischer Begriff. Normalerweise ist ein Fraktal eine geometrische Figur, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt: • Es hat eine komplexe Struktur bei jeder Vergrößerung (im Gegensatz beispielsweise zu einer geraden Linie, bei der jeder Teil die einfachste geometrische Figur ist - a Liniensegment). • Ist (ungefähr) selbstähnlich. • Hat eine fraktionale Hausdorff-Dimension (fraktal), die größer ist als die topologische. • Kann mit rekursiven Prozeduren erstellt werden.

Geometrie und Algebra

Die Erforschung von Fraktalen an der Wende des 19. und 20. Jahrhunderts war eher episodisch als systematisch, da frühere Mathematiker hauptsächlich "gute" Objekte untersuchten, die mit allgemeinen Methoden und Theorien erforscht werden konnten. 1872 konstruiert der deutsche Mathematiker Karl Weierstrass ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgendwo differenzierbar ist. Seine Konstruktion war jedoch völlig abstrakt und schwer zu erkennen.

Deshalb erfand der Schwede Helge von Koch 1904 eine kontinuierliche Kurve, die nirgendwo Tangente hat und die ganz einfach zu zeichnen ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktales hat. Eine der Varianten dieser Kurve heißt "Koch-Schneeflocke".

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden vom Franzosen Paul Pierre Levy, dem späteren Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. 1938 veröffentlichte er seinen Artikel „Ebene und räumliche Kurven und Flächen, bestehend aus Teilen ähnlich dem Ganzen“, der ein weiteres Fraktal beschreibt – die Lévy C-Kurve. Alle diese oben genannten Fraktale können bedingt einer Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale zugeordnet werden.

Eine andere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, die die Mandelbrot-Menge umfassen. Die ersten Studien in dieser Richtung begannen Anfang des 20. Jahrhunderts und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. Im Jahr 1918 wurden Julias fast zweihundertseitige Memoiren veröffentlicht, die Iterationen komplexer rationaler Funktionen gewidmet waren und in denen Julias Mengen beschrieben wurden - eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Dieses Werk wurde mit dem Preis der französischen Akademie ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, so dass es unmöglich war, die Schönheit der entdeckten Objekte zu würdigen.

Obwohl dieses Werk Julia unter den Mathematikern der damaligen Zeit verherrlichte, geriet es schnell in Vergessenheit. Erst ein halbes Jahrhundert später rückten Computer wieder ins Blickfeld: Sie machten den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar.

Fraktale Dimensionen

Wie Sie wissen, ist die Dimension (Anzahl der Messungen) einer geometrischen Figur die Anzahl der Koordinaten, die benötigt wird, um die Position eines auf dieser Figur liegenden Punktes zu bestimmen.

Beispielsweise wird die Position eines Punktes auf einer Kurve durch eine Koordinate bestimmt, auf einer Fläche (nicht unbedingt eine Ebene) durch zwei Koordinaten, im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten.

Aus allgemeinerer mathematischer Sicht kann man die Dimension so definieren: Eine Vergrößerung der linearen Dimensionen, z (Länge) zweimal, für zweidimensional (Quadrat) führt die gleiche Zunahme der linearen Dimensionen zu einer Zunahme der Größe (Fläche) um das 4-fache, bei dreidimensionalen (Würfel) - um das 8-fache. Das heißt, die "reale" (sogenannte Hausdorff-)Dimension kann als Verhältnis des Logarithmus einer Zunahme der "Größe" eines Objekts zum Logarithmus einer Zunahme seiner linearen Größe berechnet werden. Das heißt, für das Segment D = log (2) / log (2) = 1, für die Ebene D = log (4) / log (2) = 2, für das Volumen D = log (8) / log (2) = 3.

Berechnen wir nun die Dimension der Koch-Kurve, bei deren Konstruktion das Einheitssegment in drei gleiche Teile geteilt und das mittlere Intervall durch ein gleichseitiges Dreieck ohne dieses Segment ersetzt wird. Mit einer dreimaligen Zunahme der linearen Dimensionen des minimalen Segments nimmt die Länge der Koch-Kurve in log (4) / log (3) ~ 1, 26 zu. Das heißt, die Dimension der Koch-Kurve ist gebrochen!

Wissenschaft und Kunst

1982 erschien Mandelbrots Buch "The Fractal Geometry of Nature", in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale zusammengetragen, systematisiert und leicht zugänglich aufbereitet hat. Mandelbrot legte in seinem Vortrag den Schwerpunkt nicht auf umständliche Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergenerierter Illustrationen und historischer Erzählungen, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monografie gekonnt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller und Fraktale wurden einer breiten Öffentlichkeit bekannt.

Ihr Erfolg bei Nicht-Mathematikern ist weitgehend darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe sehr einfacher Konstruktionen und Formeln, die ein Gymnasiast verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit erhalten werden. Als PCs leistungsfähig genug wurden, tauchte sogar ein ganzer Trend in der Kunst auf - Fraktalmalerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte dies tun. Im Internet finden Sie jetzt viele Websites, die sich diesem Thema widmen.

Krieg und Frieden

Wie oben erwähnt, ist eines der natürlichen Objekte mit fraktalen Eigenschaften die Küstenlinie. Mit ihm verbunden ist eine interessante Geschichte, oder besser gesagt mit dem Versuch, ihre Länge zu messen, die die Grundlage von Mandelbrots wissenschaftlichem Artikel bildete und auch in seinem Buch "The Fractal Geometry of Nature" beschrieben wird.

Dies ist ein Experiment, das von Lewis Richardson inszeniert wurde, einem sehr talentierten und exzentrischen Mathematiker, Physiker und Meteorologen. Eine seiner Forschungsrichtungen war der Versuch, eine mathematische Beschreibung der Ursachen und der Wahrscheinlichkeit eines bewaffneten Konflikts zwischen den beiden Ländern zu finden. Zu den Parametern, die er berücksichtigte, gehörte die Länge der gemeinsamen Grenze der beiden kriegführenden Länder. Als er Daten für numerische Experimente sammelte, stellte er fest, dass die Daten zur gemeinsamen Grenze zwischen Spanien und Portugal in verschiedenen Quellen sehr unterschiedlich sind.

Dabei entdeckte er folgendes: Die Länge der Grenzen eines Landes hängt von dem Herrscher ab, mit dem wir sie messen. Je kleiner der Maßstab, desto länger ist die Grenze. Dies liegt daran, dass mit einer höheren Vergrößerung immer mehr Küstenkrümmungen berücksichtigt werden können, die bisher aufgrund der Rauheit der Messungen vernachlässigt wurden. Und wenn sich bei jeder Vergrößerung die zuvor nicht berücksichtigten Biegungen der Linien öffnen, stellt sich heraus, dass die Länge der Grenzen unendlich ist! In Wirklichkeit passiert dies zwar nicht - die Genauigkeit unserer Messungen hat eine endliche Grenze. Dieses Paradox wird Richardson-Effekt genannt.

Konstruktive (geometrische) Fraktale

Der Algorithmus zum Konstruieren eines konstruktiven Fraktals ist im allgemeinen Fall wie folgt. Zunächst benötigen wir zwei geeignete geometrische Formen, nennen wir sie Basis und Fragment. In der ersten Stufe wird die Basis des zukünftigen Fraktals dargestellt. Dann werden einige seiner Teile durch ein Fragment in einem geeigneten Maßstab ersetzt - dies ist die erste Iteration der Konstruktion. Dann verwandelt die resultierende Figur wieder einige Teile in Figuren ähnlich einem Fragment usw. Wenn wir diesen Prozess unbegrenzt fortsetzen, erhalten wir im Grenzfall ein Fraktal.

Betrachten wir diesen Vorgang am Beispiel der Koch-Kurve. Als Grundlage für die Koch-Kurve können Sie jede beliebige Kurve nehmen (für die "Koch-Schneeflocke" ist es ein Dreieck). Aber wir beschränken uns auf den einfachsten Fall – ein Segment. Ein Fragment ist eine gestrichelte Linie, die oben in der Abbildung gezeigt wird. Nach der ersten Iteration des Algorithmus fällt in diesem Fall das Anfangssegment mit dem Fragment zusammen, dann wird jedes seiner konstituierenden Segmente durch eine gestrichelte Linie ersetzt, ähnlich einem Fragment usw. Die Abbildung zeigt die ersten vier Schritte von dieser Prozess.

In der Sprache der Mathematik: dynamische (algebraische) Fraktale

Fraktale dieser Art entstehen beim Studium nichtlinearer dynamischer Systeme (daher der Name). Das Verhalten eines solchen Systems kann durch eine komplexe nichtlineare Funktion (Polynom) f (z) beschrieben werden. Nehmen Sie einen Startpunkt z0 auf der komplexen Ebene (siehe Seitenleiste). Betrachten wir nun eine solche unendliche Zahlenfolge auf der komplexen Ebene, von denen sich jede aus der vorherigen ergibt: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Je nach Anfangspunkt z0 kann sich eine solche Folge unterschiedlich verhalten: gegen unendlich tendieren als n -> ∞; konvergieren zu einem Endpunkt; zyklisch mehrere feste Werte annehmen; komplexere Optionen sind ebenfalls möglich.

Komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl, die aus zwei Teilen besteht - reell und imaginär, also der formalen Summe x + iy (hier sind x und y reelle Zahlen). ich ist die sogenannte. imaginäre Einheit, d. h. eine Zahl, die die Gleichung i ^ 2 = -1 erfüllt. Die grundlegenden mathematischen Operationen werden über komplexe Zahlen definiert - Addition, Multiplikation, Division, Subtraktion (nur die Vergleichsoperation ist nicht definiert). Um komplexe Zahlen anzuzeigen, wird oft eine geometrische Darstellung verwendet - in der Ebene (wird komplex genannt), der Realteil wird auf der Abszisse und der Imaginärteil auf der Ordinate gelegt, während die komplexe Zahl einem Punkt mit kartesischem entspricht Koordinaten x und y.

Somit hat jeder Punkt z der komplexen Ebene seinen eigenen Verhaltenscharakter während der Iterationen der Funktion f (z), und die gesamte Ebene wird in Teile zerlegt. In diesem Fall haben die auf den Grenzen dieser Teile liegenden Punkte folgende Eigenschaft: Bei einer beliebig kleinen Verschiebung ändert sich die Art ihres Verhaltens stark (solche Punkte werden Bifurkationspunkte genannt). Es stellt sich also heraus, dass sowohl Punktmengen mit einem bestimmten Verhaltenstyp als auch Mengen von Verzweigungspunkten häufig fraktale Eigenschaften haben. Dies sind die Julia-Mengen für die Funktion f (z).

Familie der Drachen

Durch Variieren der Basis und des Fragments können Sie eine erstaunliche Vielfalt konstruktiver Fraktale erhalten.

Darüber hinaus können ähnliche Operationen im dreidimensionalen Raum durchgeführt werden. Beispiele für volumetrische Fraktale sind der Mengersche Schwamm, die Sierpinski-Pyramide und andere.

Die Drachenfamilie wird auch als konstruktive Fraktale bezeichnet. Manchmal werden sie von den Entdeckern "Drachen des Highway-Harter" genannt (in ihrer Form ähneln sie chinesischen Drachen). Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Kurve zu zeichnen. Die einfachste und intuitivste von ihnen ist diese: Sie müssen einen ausreichend langen Papierstreifen (je dünner das Papier, desto besser) nehmen und in zwei Hälften falten. Biegen Sie es dann noch einmal zweimal in die gleiche Richtung wie beim ersten Mal.

Nach mehreren Wiederholungen (normalerweise wird der Streifen nach fünf oder sechs Falten zu dick, um ordentlich weitergebogen zu werden), müssen Sie den Streifen zurückbiegen und versuchen, an den Falten 90°-Winkel zu bilden. Dann wird die Kurve des Drachen im Profil ausfallen. Dies wird natürlich nur eine Annäherung sein, wie alle unsere Versuche, fraktale Objekte darzustellen. Mit dem Computer lassen sich viele weitere Schritte dieses Prozesses darstellen, und das Ergebnis ist eine sehr schöne Figur.

Die Mandelbrot-Menge ist etwas anders aufgebaut. Betrachten Sie die Funktion fc (z) = z ^ 2 + c, wobei c eine komplexe Zahl ist. Konstruieren wir eine Folge dieser Funktion mit z0 = 0, die je nach Parameter c ins Unendliche divergieren oder beschränkt bleiben kann. Darüber hinaus bilden alle Werte von c, für die diese Folge beschränkt ist, die Mandelbrot-Menge. Es wurde von Mandelbrot selbst und anderen Mathematikern im Detail untersucht, die viele interessante Eigenschaften dieser Menge entdeckten.

Man sieht, dass die Definitionen der Julia- und Mandelbrot-Mengen einander ähnlich sind. Tatsächlich sind diese beiden Sets eng miteinander verbunden. Die Mandelbrot-Menge sind nämlich alle Werte des komplexen Parameters c, für die die Julia-Menge fc (z) verbunden ist (eine Menge heißt verbunden, wenn sie mit einigen zusätzlichen Bedingungen nicht in zwei disjunkte Teile geteilt werden kann).

Fraktale und Leben

Heutzutage wird die Theorie der Fraktale in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit weit verbreitet. Neben einem rein wissenschaftlichen Forschungsgegenstand und der bereits erwähnten fraktalen Malerei werden Fraktale in der Informationstheorie verwendet, um grafische Daten zu komprimieren (hier wird hauptsächlich die Selbstähnlichkeitseigenschaft von Fraktalen genutzt – immerhin, um sich an ein kleines Fragment von eine Zeichnung und Transformationen, mit denen Sie den Rest der Teile erhalten, viel weniger Speicher benötigt als zum Speichern der gesamten Datei).

Durch Hinzufügen zufälliger Störungen zu den Formeln, die das Fraktal definieren, kann man stochastische Fraktale erhalten, die sehr plausibel einige reale Objekte wiedergeben - Reliefelemente, die Oberfläche von Gewässern, einige Pflanzen, die in Physik, Geographie und Computergrafik erfolgreich verwendet werden, um mehr zu erreichen Ähnlichkeit von simulierten Objekten mit realen. In der Elektronik werden Antennen mit fraktaler Form hergestellt. Sie nehmen wenig Platz ein und bieten einen recht hochwertigen Signalempfang.

Ökonomen verwenden Fraktale, um Währungskurskurven zu beschreiben (eine von Mandelbrot entdeckte Eigenschaft). Damit endet dieser kleine Ausflug in die unglaublich schöne und vielfältige Welt der Fraktale.